拐点：使函数凹凸性改变的点
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向回上或向下方向的点，直观地答说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。
“临界点”更为通用：功能的平稳点对应于平行于x轴的投影的图形的临界点
另一方面，平行于y轴的投影图的关键点是导数不被定义的点（更准确地趋向于无穷大）
因此，有些作者将这些预测的关键点称为“关键点”
01、什么是拐点
拐点原本是个数学术语，也是个生活常识
但本质，是趋势开始改变的地方
对每个人的人生有着举足轻重的现实意义
经常听到有人说，今年事业不顺了，那么这一年就是这个人事业和生活的拐点
也听到有人说，高考改变了自己的命运，上大学就是这个人的人生拐点
所以拐点，就是趋势开始改变的地方
在宏观层面，一个国家的经济，也有拐点
比如我们经常讲经济周期，长周期，中周期，短周期，不管哪一种，都像潮水有起有落，浪潮之巅和浪潮之谷，都是拐点。
而这种宏观拐点往往会决定个人的命运
好像周金波说的，“人生发财靠康波”，康波就是周期，就是拐点
在经济学上，拐点经济学，其实是一个很严谨的学问
如何研究好拐点经济，对每个人都有非常重要的现实意义
比如过去四十年，中国国运出奇的好，每一次历史关键点，都踩得比较准
只在1990年前后遇到一些小波折，之后经济发展可谓顺风顺水
特别进入21世纪后，借着全球化、互联网两大浪潮，国内经济总量、制造业、出口贸易、房地产、居民收入都蒸蒸日上。
这四十年，中国没有经历过经济拐点，更不知道经济长期下滑、房地产价格下跌、制造业萎缩、出口受阻、工人失业是什么回事。
但好像投机之王杰西•利弗莫尔说的，“树不会一直涨到天上去”
世界上还没有只涨不跌的房价，股价和经济也一样，美国、德国、日本、英国历史上都经历过连续几十年的高增长，但都没有超过50年。
而反观中国40年前，改革开放，就是拐点
所以我们常思辨，是时势造了英雄？还是英雄造了时势？
其实不重要，重要是的你对拐点这件事的认知
两种兼有又如何？关键在你自己能否成事
我很喜欢曾国藩的一句话，很好解答了这个思辨：我辈办事，成败听之于天，毁誉听之于人，唯在己之规模气象，则我有可以自主者。
拐点是什么不重要，重要的是你是否配的上拐点
02、拐点和折点的区别
拐点就是转折点
市场发生转折
必然是调整完成的时候
对于一个市场发生转折
必然是调整完成的时候
对于一个单纯的循环走势来说
很简单的
一个上或一个下
必然有一个调整和它对应
来完成循环
折点即转折的点，是不可导的，这证明这里没有切线，所以也不会有速度
一般的释义：折点，即转折的点
物理学释义：折点是不可导的，这证明这里没有切线
03、初一拐点问题的公式
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在
可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
⑴求f''(x)；
⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x，检查f''(x)在这个点x左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，这个点(x，f(x))是拐点，当两侧的符号相同时，(x，f(x))不是拐点。
04、函数拐点判断最准确的方法
方法：
（1）求这个函数的二阶导数；
（2）若二阶导数在这个点的左边和右边的正负性不同，则这个点就是拐点；
若在这个点的左边和右边的正负性相同，则这个点就不是拐点
补充：关于这个点怎么求的问题：这个点一般是二阶导数等于零的点或这个点处函数无意义
直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在
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