二阶导与拐点的关系

拐点定义：一般的,设y=f(x)在区间I上连续,x0是I的内点（除端点外的I内的点）.如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点这样设f(x)在(a,b)内二阶可导,x0∈(a,b),则f‘’(x0)=0,若在x0两侧附近f‘’(x0)异号,则点(x0,f(x0))为曲线的拐点.否则（即f‘’(x0)保持同号,(x0,f(x0))不是拐点.三阶导数不为零则2阶导数的正负在该店附近改变,进而凹凸性改变,为拐点。

01、x0是fx的极值点

极值点包括拐点和不可导点所以如果X0为f(x)的极值点那么f'(x0)=0或在x0点函数不可导C 因为在导函数图像是，左交点到0上，导函数小于0，原函数单调递减0到右边第一个交点上，导函数大于0，原函数单调递增所以x=0是极小值点f(x)=x³x=0时,f'(0)=0但f'(x)=x²>=0,增函数,没有极值。

02、f(x)的二阶导数等于零，为什么不是曲线y=f(x)的拐点的充分条件

f的二阶导数不存在或为零，不能断定为曲线y=f的拐点由拐点的定义可以知道,若点(x,f(x) )为曲线y=f(x)的拐点,则f(x)的二阶导数等于0,而若f(x)的二阶导数等于0,并不能保证点(x,f(x) )为曲线y=f(x)的拐点,还需要条件在这一点f(x)的三阶导数不等于0所以f(x)的二阶导数等于0,是点(x,f(x) )为曲线y=f(x)的拐点的必要不充分条件。

03、fx的导数不等于0的意义

先规定讨论的前提，f(x)的定义域为D,x0∈D,研究函数y=f(x)在x0处的二阶导为0或二阶导不存在情况： 若f''(x0)=0，或在x0处二阶导不存在那么x0可能是曲线的拐点.即f''(x0)=0，或在x0处二阶导不存在是x0为拐点的必要条件。

1. f(x)=x^3,f'(x)=3x^2,f''(x)=6x, f''(x)=0得x=0, x<0时，f''(x)<0曲线为凸曲线x>0时， f''(x)>0曲线为凹曲线，∴x=0为f(x)的拐点。

2. f(x)=x^4,f'(x)=4x^3,f''(x)=12x^2 f''(x)=0得，x=0,但f''(x)≥0, 所以x=0不是f(x)的拐点。

3. y=x^(1/3) y'=1/3*x^(-2/3) y''=-2/9*x^(-5/3) x=0时，一阶导和二阶导均不存在， x<0时， y''>0,曲线凹， x>0时，y''<0,曲线凸 x=0是，曲线拐点。

04、fx的驻点一定是fx的极值点

不正确，驻点处的导数为零可导函数极值点处导数为零，且要求该点两侧邻域内导数符号相反

比如,y=x^3,在x=0处函数的导数为零,是驻点,但是x<0与x>0时导数符号相同,该点不是极值点。

当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确

例如：f（x）＝x＾3，x＝0是函数的驻点（也是零点），但不是极值点，常常从函数的驻点中找极值点

函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点

当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点

例如：f（x）＝x＾2－1，x＝0就是函数的f（x）的极小值点

或者说函数在x＝0附近的函数值都比x＝0时的函数值大

且x＝1和x＝－1是函数f（x）的零点

再如：g（x）＝｜x｜，x＝0是函数的极小值点，但不是函数的驻点

扩展资料：函数的平稳点的术语可能会与函数图的给定投影的临界点相混淆

拐点是导数符号发生变化的点

拐点可以是相对最大值或相对最小值（也称为局部最小值和最大值）

如果函数是可微分的，那么拐点是一个固定点；然而并不是所有的固定点都是拐点

如果函数是两次可微分的，则不转动点的固定点是水平拐点

例如，函数x3在x＝0处有一个固定点，也是拐点，但不是转折点