对于二阶可导的一元函数来说拐点对应的自变量必须从二阶导数为零的点中去寻找，这是必要条件但二阶导数为零的点未必都是拐点，除非在该点两侧的导函数的符号相异所以f(x)的二阶导数是拐点的充要条件是该点的二阶导数为零且在该点两侧的导函数的符号相异。
二阶导数在这个点左右的符号相同（同正同负），说明原函数图像在这个点凹凸性一致（同凸同凹），所以不一定是拐点，拐点要求，左右凹凸性不一样。
01、拐点的判定
第一充分条件
直接根据拐点的定义，可以得到曲线存在拐点的第一充分条件
设函数f（x）在点
的某邻域内具有二阶连续导数，若
的两侧
异号，则（
）是曲线
的一个拐点；若
的两侧
同号，则（
）不是曲线的拐点
第二充分条件
设函数
在点
，但
，那么存在
的一个领域，在该领域内
，根据函数单调性判定定理，则在该邻域内
单调递增或
单调递减，而
，故存在点
的一个邻域，在点
的两侧
异号，从而判定
为曲线
的拐点的横坐标
根据以上分析，可以得到曲线存在拐点的第二充分条件
，且
,则（
）是曲线
的拐点
除上述情况外，f（x）的二阶导数不存在的点也有可能是
的符号发生变化的分界点
02、什么是拐点
拐点原本是个数学术语，也是个生活常识
但本质，是趋势开始改变的地方
对每个人的人生有着举足轻重的现实意义
经常听到有人说，今年事业不顺了，那么这一年就是这个人事业和生活的拐点
也听到有人说，高考改变了自己的命运，上大学就是这个人的人生拐点
所以拐点，就是趋势开始改变的地方
在宏观层面，一个国家的经济，也有拐点
比如我们经常讲经济周期，长周期，中周期，短周期，不管哪一种，都像潮水有起有落，浪潮之巅和浪潮之谷，都是拐点。
而这种宏观拐点往往会决定个人的命运
好像周金波说的，“人生发财靠康波”，康波就是周期，就是拐点
在经济学上，拐点经济学，其实是一个很严谨的学问
如何研究好拐点经济，对每个人都有非常重要的现实意义
比如过去四十年，中国国运出奇的好，每一次历史关键点，都踩得比较准
只在1990年前后遇到一些小波折，之后经济发展可谓顺风顺水
特别进入21世纪后，借着全球化、互联网两大浪潮，国内经济总量、制造业、出口贸易、房地产、居民收入都蒸蒸日上。
这四十年，中国没有经历过经济拐点，更不知道经济长期下滑、房地产价格下跌、制造业萎缩、出口受阻、工人失业是什么回事。
但好像投机之王杰西•利弗莫尔说的，“树不会一直涨到天上去”
世界上还没有只涨不跌的房价，股价和经济也一样，美国、德国、日本、英国历史上都经历过连续几十年的高增长，但都没有超过50年。
而反观中国40年前，改革开放，就是拐点
所以我们常思辨，是时势造了英雄？还是英雄造了时势？
其实不重要，重要是的你对拐点这件事的认知
两种兼有又如何？关键在你自己能否成事
我很喜欢曾国藩的一句话，很好解答了这个思辨：我辈办事，成败听之于天，毁誉听之于人，唯在己之规模气象，则我有可以自主者。
拐点是什么不重要，重要的是你是否配的上拐点
03、二阶导数等于0是拐点的什么条件
f的二阶导数不存在或为零，不能断定为曲线y=f的拐点
由拐点的定义可以知道，若点(x，f(x) )为曲线y=f(x)的拐点，则f(x)的二阶导数等于0，而若f(x)的二阶导数等于0，并不能保证点(x，f(x) )为曲线y=f(x)的拐点，还需要条件在这一点f(x)的三阶导数不等于0。
所以f(x)的二阶导数等于0，是点(x，f(x) )为曲线y=f(x)的拐点的必要不充分条件
扩展资料：
将原函数进行二次求导
一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。
在图形上，它主要表现函数的凹凸性
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
判断函数极大值以及极小值
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值
当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点
当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点
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